Vektor – Pengertian,Jenis,Proyeksi,Contoh Soal Dan Pembahasannya

Posted on

GuruSekolah.Co.id Pada kali ini kita akan membahas tentang materi vektor yang meliputi Pengertian,Jenis,Proyeksi,Contoh Soal Dan Pembahasannya lengkap

Untuk lebih jelasnya simak pembahasan berikut ini :

Vektor

Pengertian Vektor

Vektor  adalah merupakan sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah dengan yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut besar vektor. Di dalam penulisannya, jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya ada sebuah tanda garis/ panah seperti \vec{v}atau \bar{v} atau juga:

\vec{AB}

Misalkan vektor \bar{v} adalah merupakan vektor yang berawal dari titik A(x_1,y_1) menuju titik B(x_2,y_2) dapat juga digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu x ialah v_1 = x_2 - x_1 dan panjang garis sejajar sumbu y ialah v_2 = y_2 - y_1  adalah merupakan komponen-komponen vektor \bar{v}.

Vektor

Pada komponen vektor \bar{v} dapat ditulis untuk menyatakan vektor secara aljabar yaitu:

vektor

Jenis-jenis Vektor

Ada beberapa jenis-jenis vektor khusus yaitu:

  • Vektor Posisi
    Yaitu Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A (a_1,a_2)
  • Vektor Nol
    Yaitu Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan \bar{0}. Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.
  • Vektor satuan
    Pada suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan darivektoradalah         vektorvektor

Vektor di R^2

Panjang segmen garis yang menyatakan vektor \bar{v} atau dinotasikan sebagai \mid\bar{v}\midPanjang vektor adalah:

vektor

Panjang vektor juga dapat dikaitkan dengan sudut \theta yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x, positif

vektor

Vektor dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis \bar{l} = \binom{1}{0} dan \bar{J} = \binom{0}{1}berikut:

\bar{v} =\left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\end{array}\right) = v_1\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \end{array}\right) + v_2\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\end{array}\right)

\bar{v} =v_1 \bar{i} + v_2\bar{j}

panjang vektor di r2

Operasi Vektor di R^2

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2

Dua vektor atau lebih dapat juga dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika \vec{a} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\end{array}\right) dan \vec{b} = \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\end{array}\right) maka:

\vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\end{array}\right)

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:

penjumlahan dan pengurangan vektor

Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:

\bar{a} - \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1-b_1\\ a_2-b_2\end{array}\right)

Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:

  • \bar{a} + \bar{b} = \bar{b} + \bar{a}
  • \bar{a} + (\bar{b}+\bar{c}) = (\bar{a} + \bar{b}) + \bar{c}

Perkalian vektor di R^2 dengan skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika \bar{v} adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

k.\bar{v}

Dengan ketentuan:

  • Jika k > 0, jadi vektor k.\bar{v} searah dengan vektor \bar{v}
  • Jika k < 0, jadi vektor k.\bar{v} berlawanan arah dengan vektor \bar{v}
  • Jika k = 0, jadi vektor k.\bar{v} adalah vektor identitas \bar{o} = ^0_0

Secara grafis perkalian ini dapat juga merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:

perkalian vektor dengan skalar

Secara aljabar perkalian vektor \bar{v} dengan skalar k dapat juga dirumuskan:

k.\bar{v} = \left(\begin{array}{r} k.v_1\\ k.v_2\end{array}\right)

Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2

Perkalian skalar dua vektor dapat disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:

\bar{a}.\bar{b} (dibaca : a dot b)

Perkalaian skalar vektor \bar{a} dan \bar{b} dilakukan dengan mengalikan panjang vektor \bar{a} dan panjang vektor \bar{b} dengan cosinus \theta. Sudut \theta yang adalah merupakan sudut antara vektor \bar{a}dan vektor \bar{b}.

Sehingga:

\bar{a} \cdot \bar{b} = \mid\bar{a}\mid\mid\bar{b}\mid cos\theta

Dimana:

perkalian skalar dua vektor

Perhatikan bahwa:

  • Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
  • \bar{a}.\bar{a} = (\bar{a}^2)
  • \bar{a}.(\bar{b}+ \bar{c}) = (\bar{a} . \bar{a}) + (\bar{a} . (\bar{c})

Vektor di R^3

Vektor yang berada pada suatu ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam R^3 dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik A(x_1,y_1,z_1) dan titik B(x_2,y_2,z_2) maka jarak AB adalah:

AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 b+ (z_2 - z_1)^2}

Atau jika \bar{v} = \left(\begin{array}{r} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right), maka

\mid\bar{v}\mid = \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2 + (v_3)^2}

Vektor \bar{AB} dapat juga dinyatakan dalam dua bentuk, yakni dalam kolom \bar{AB} = \left(\begin{array}{r} b_1 - a_1\\ b_2 - a_2\\ b_3 - a_3\end{array}\right) atau dalam baris  \bar{AB} = (b_1 - a_1,b_2 - a_2,b_3 - a_3). Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis \bar{l}(1,0,0) dan \bar{J}(0,1,0) dan \bar{K}(0,0,1) berikut:

\bar{v} = \left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right) = v_1\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right) + v_2\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right) + v_3\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)

\bar{v} = v_1\bar{I} + v_2\bar{J} + v_3\bar{K}

vektor di R3

Operasi Vektor di R^3

Operasi vektor di R^3 yang secara umum, mempunyai konsep yang sama dengan operasi vektor di R^2 dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3

Penjumlahan dan pengurangan dari vektor di R^3 sama dengan vektor di R^2 yaitu:

\bar{a} + \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end{array}\right)

Dan

\bar{a} - \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ a_3-b_3\end{array}\right)

Perkalian vektor di R^3 dengan skalar

Jika \bar{v} adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

k.\bar{v} = \left(\begin{array}{r} k.v_1\\ k.v_2\\ k.v_3\end{array}\right)

Hasil kali skalar dua vektor

Selain pula rumus di R^3, ada juga rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika \bar{a} = a\bar{I} + a_2\bar{J} + a_3\bar{K} dan \bar{b} = b_1\bar{i} + b_2\bar{j} + b_3\bar{k} maka \bar{a}.\bar{b} adalah:

\bar{a}.\bar{b} = (a_1b_1) + (a_2b_2) + (a_3b_3)

Proyeksi Orthogonal vektor

Jika vektor \bar{a} diproyeksikan pada vektor bar{b} dan diberi nama \bar{c} seperti gambar dibawah:

proyeksi orthogonal vektor

Diketahui:

\bar{a}.\bar{b} = \mid\bar{a}\mid \mid \bar{b} \mid cos\theta \overset{maka}{\rightarrow} cos\theta = \frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{a}\mid\mid\bar{b}\mid}

Sehingga:

\mid\bar{c}\mid = \mid\bar{a}\mid\mid cos\theta\mid atau \mid\bar{c}\mid = \mid\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{b}\mid}\mid

Untuk mendapat vektornya:

\bar{c} = \mid\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid \bar{b} \mid} \mid \bar{b}

Contoh Soal Vektor dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukanlah nilai p+q.

Pembahasan 1:

Apabila titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor \bar{AB} dan vektor \bar{AC} bisa menjadi searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada pula bilangan m yang adalah merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan

  • m.\bar{AB} = \bar{AC}

Jika B juga berada diantara titik A dan C, maka diperoleh:

  • \bar{AB} + \bar{BC} = \bar{AC}

sehingga:

\bar{AB} = \left(\begin{array}{r} 6-2\\ 6-4\\ 2-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right)

\bar{AC} = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -6-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array}\right)

Maka kelipatan m dalam persamaan:

m.\bar{AB} = \bar{AC}

m.\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array} \right)

-4.m = (-12) \rightarrow m = 3

Diperoleh:

  • 2.m = (q - 4) \rightarrow 6 = (q - 4)
    q = 10
  • 4.m = (p - 2) \rightarrow 12 (p - 2)
    p = 14

disimpulkan:

p+q=10+14=24

Contoh Soal 2

Jika diketahui vektor pada titik A dan titik B dan vektor pada titik C yang juga berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukanlah persamaan vektor C.

contoh soal vektor dan pembahasannya

Pembahasan 2:

Dari gambar dapat diketahui bahwa:

  • \bar{AB} + \bar{a} = \bar{b} sehingga \bar{AB} = \bar{b} - \bar{a}
  • \bar{AC} = \frac{m}{m+n}\bar{AB} = \frac{m}{m+n}(\bar{b} - \bar{a})

Sehingga:

\bar{c} = \bar{AC} + \bar{a}

= \frac{m}{m+n} (\bar{b} - \bar{a}) + \bar{a} = \frac{m}{m+n}(\bar{b}) - \frac{m}{m+n}(\bar{a}) + \frac{m+n}{m+n}(\bar{a})

= \frac{m}{m+n}(\bar{b})+\frac{n}{m+n}(\bar{a})

Baca Juga : Tax Amnesty ; Pengertian, Manfaat, Tujuan, dan Contohnya Lengkap

Contoh Soal 3

Misalkan vektor \bar{a} = 4\bar{i} + y\bar{j} dan vektor \bar{b}=2\bar{i} + 2\bar{j} + \bar{k}. Jika panjang pada proyeksi vektor a ̅\bar{a} pada \bar{b} adalah 4. Maka tentukan nilai y.

Pembahasan 3:

Diketahui:

  • \mid\bar{b}\mid = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (1)^2} = \sqrt{9} = 3
  • \bar{a}.\bar{b} = (4.2) + (2.y) + (0.1) = 8 + 2y

Maka:

\bar{c} = \mid\frac{\bar{a}.\bar{b}}{\mid\bar{b}\mid} \mid \bar{b}\overset{menjadi}{\rightarrow}4 = \mid\frac{8+2y}{3}\mid

12=8+2y

y=2

Demikian Penjelasan Tentang Vektor – Pengertian,Jenis,Proyeksi,Contoh Soal Dan Pembahasannya Lengkap Yang Gurusekolah.co.id Sampaikan Semoga Bisa Bermanfaat..

Artikel Lainnya :

Pakaian Adat Jawa Timur-Upacara beserta Gambarnya Dan Penjelasan

Rumah Adat Jawa Barat &#8211; keunikan,Nama Beserta Gambarnya