Gradien – Pengertian,Rumus,Gradien Garis Serta Contoh Soalnya

Posted on

Gurusekoah.co.id-Pada kali ini kita akan membahas gradien yang meliputi Pengertian,Rumus,Gradien Garis Serta Contoh Soalnya secara singkat dan jelas.

Pengertian Gradien

Pernahkah kalian melewati suatu jalan yang naik dan turun seperti halnya jalan-jalan di daerah pegunungan? Tahukah kalian bahwa dalam pembuatan jalan yang menanjak dan berkelok-kelok diperlukan perhitungan tertentu agar kendaraan mudah melewatinya.

Salah satu perhitungan matematika yang harus diperhatikan dalam pembangunan jalan seperti itu ialah kemiringannya.

Perhatikan gambar di bawah berikut ini! Untuk dapat menjangkau dan juga memadamkan titik api yang menjadi penyebab kebakaran, para petugas pemadam kebakaran memakai tangga dengan suatu kemiringan tertentu.

Contoh Kasus Gradien Dalam Keseharian

Tahukah kalian semua mengapa tangga yang digunakan oleh pemadam kebakaran posisinya miring?

Jika kita menganggap tangga pada gambar tersebut adalah satu garis lurus maka garis tersebut mempunyai kemiringan tertentu. Kemiringan ini dalam matematika dikenal dengan sebutan gradien.

 “Jadi, gradien suatu garis ialah ukuran kemiringan atau kecondongan suatu garis”.

Selain itu gradien dapat disebut juga sebagai koefisien arah pada suatu garis lurus dan dilambangkan dengan huruf m.

” Gradien ialah nilai kemiringan / kecondongan suatu garis yang membandingkan antara komponen Y (ordinat) dengan komponen X (absis)”.

Rumus Mencari Gradien

Ada beberapa kondisi atau juga keadaan untuk dapat  mencari gradien garis,

1. Gradien Garis yang Melalui suatu Titik Pusat (0,0) dan juga Titik (x, y)

Kalian sudah memahami, bahwa persamaan garis yang melalui titik pusat (0,0) dan titik (x, y) adalah y = mx. Perhatikan contoh soal berikut,

Contoh Soal dan Pembahasannya

Tentukanlah gradien persamaan garis yang melalui titik pusat dan juga titik (3, 5) :

Penyelesaian:
Persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (3, 5) ialah y = (5/3)x, sehingga gradiennya ialah 5/3.

 Dari contoh soal di atas bisa disimpulkan bahwa gradien dari persaman garis y = mx adalah m.

Kesimpulan bahwa perbandingan antara komponen y dengan komponen x pada setiap ruas garis ialah sama, nilai perbandingan tersebut dinamakan gradien.

 Maka, persamaan garis y = mx memiliki gradien m dengan m = y/x.

2. Gradien Garis yang Melalui Dua Buah Titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Tidak selamanya bahwa sebuah garis itu akan melewati suatu titik pusat (0,0), jika suatu garis tidak melewati titik pusat (0,0), bisakah kalian menentukan gradiennya?,

Contoh Soal dan Pembahasannya

Tentukanlah gradien persamaan garis yang melalui titik (6, 2) dan juga titik (3, 5)!

Penyelesaian:
x1 = 6; y1 = 2; x2 = 3; y2 = 5

Rumus Gradien 1

Jadi, gradien persamaan garisnya adalah -1.

Kesimpulan bahwa perbandingan komponen x dan juga komponen y pada setiap ruas garis ialah sama, yakni 1. Bilangan 1 ini merupakan gradien dari persamaan garis y = x + 2.

 Maka, persaman garis y = mx, c ≠ 0 memiliki gradien m dengan;

Rumus Gradien 2

3. Gradien Garis Yang Sejajar Sumbu-x dan Sumbu-y

Untuk bisa menentukan gradien garis yang sejajar sumbu-x dan gradien garis yang sejajar sumbu-y kita dapat memakai rumus;

Rumus Gradien 3

Perhatikan gambar berikut di bawah ini ;

Rumus Gradien 4

Garis o sejajar dengan sumbu-x sedangkan garis n sejajar dengan sumbu-y, pada gambar diatas terlihat dengan jelas bahwa garis o melewati titik (-4, 2) dan (5, 2). Gradien garis o ialah

Rumus Gradien 5

 “Maka, gradien garis yang sejajar sumbu-x ialah = 0”

Perhatikan garis n diatas

Garis n melewati titik (4, 8) dan juga (4, -5).
Gradien garis n ialah m = (–5 – 8):(4 – 4) = 13/0 = (tidak didefinisikan).

 “Jadi, gradien garis yang sejajar sumbu-y tidak didefinisikan”

Baca Juga : Vektor & Pengertian,Jenis,Proyeksi,Contoh Soal Dan Pembahasannya

4. Gradien Garis Yang Saling Sejajar

Gradien garis yang sejajar sumbu-x ialah 0. Bagaimana dengan gradien dua buah garis yang saling sejajar seperti terlihat pada gambar dibawah berikut;

Rumus Gradien 5

Coba perhatikan gambar berikut di atas kemudian lakukan kegiatan di bawah ini, untuk dapat mencari gradien garis yang saling sejajar, apa yang bisa anda simpulkan berdasarkan kegiatan tersebut?,

Carilah gradien ruas garis AB, PQ, MN, dan RS pada gambar di atas dengan melengkapi titik-titik berikut ini!

Titik  A = (1, 4), dan  B = (6, 11)
Gradien AB = (11 – 4):(6 – 1) = 7/5

Titik P (2,2) ; Q (7,9)
Gradien PQ = (9 – 2):(7 – 2) = 7/5

 Titik M (6,3); N (11,10)
Gradien MN = (10 – 3):(11–6) = 7/5Titik R (1,4); S (6,11)
Gradien RS = (11 – 7):(6 – 1) = 7/5Maka, gradien garis AB = PQ = MN = RS = 7/5 .

5. Gradien Garis yang Saling Tegak Lurus

Selain kedudukan dua buah garis yang sejajar, terdapat juga kedudukan dua buah garis yang saling tegak lurus, bagaimana gradien garis yang saling tegak lurus?, Apakah gradiennya sama?

 “Gradien dua buah garis yang saling tegak lurus apabila dikalikan hasilnya adalah sama dengan –1. Maka, jika l ialah sebuah garis yang tegak lurus dengan garis p maka berlaku ml × mp = –1“.

Perhatikan contoh berikut dibawah,

Contoh Soal dan Pembahasannya

Garis k memiliki persamaan y = 2x + 5. Jika garis l tegak lurus dengan garis k, maka tentukanlah gradien garis l ?

Penyelesaian:
ml = 2 ;
mk × ml = –1
ml = –(1/mk)
= –(1/2)
= -½
Maka, gradien garis l adalah -½.

Gurusekolah.co.id – Sekian penjelasan lengkap tentang gradien, mulai dari pengertian, Rumus, mencari Gradien Garis Serta Contoh Soalnya semoga bermanfaat..
Artikel Lainnya :